MaRSovski projekti 2020
Ker je MaRS 2020 potekal preko spleta, so projekti to leto potekali nekoliko drugače - razdelili smo se v dve večji skupini.Požrešni algoritmi
Najprej smo predelali osnove grafov. Spoznali smo osnovne pojme kot so vozlišča, povezave, pot in sprehodi in več vrst grafov. To so multigrafi, usmerjeni, polni in prazni grafi. Obravnavali smo tudi podgrafe, ki so v posebnih primerih lahko inducirani ali vpeti. Grafi, ki imajo med dvema poljubnima vozliščema natanko eno pot, se imenujejo drevesa. Dokazovali smo tudi lemo o rokovanju. Za zaključek pa smo z nalogami potrdili naše znanje. Ukvarjali smo se z iskanjem najkrajše poti v grafu. Razmišljali smo, kako bi najkrajšo pot med dvema vozliščema našli na sistematičen, a ne preveč potraten način. V ta namen smo spoznali požrešni Dijkstrov algoritem, ki na vsakem koraku za pregled izbere tisto še nepregledano vozlišče, ki se trenutno zdi najboljše. Ker nismo bili prepričani, da tak postopek res najde najkrajšo pot, smo pravilnost algoritma dokazali z indukcijo.
Preštevalna geometrija
Najprej smo opredelili izraz splošna ali generična lega in nato navedli osnovne pogoje za premice, s katerimi smo kasneje računali (le-te smo za lažje računanje označili z grško črko sigma in ustrezno podpisano črko). Zadnji trije so specifični, dobimo jih lahko, če ostale osnovne pogoje med seboj množimo (oznaka 1 je pomenila, da je premica enaka dani premici, oznaka 0, da takšne premice ni, in oznaka T, da gre za poljubno premico v prostoru). Nato smo si pogledali produkte dveh enakih in različnih osnovnih pogojev in pri tem dobili nek osnovni pogoj ter s tem poenostavili izraz.
MaRSovski projekti 2019
MaRSovska geometrija
Pri projektu smo spoznali izreke elementarne geometrije. Dokazali smo Apolonijev in Cevov izrek, s pomočjo katerega smo dokazali obstoj nekaterih znamenitih točk trikotnika. Navedli smo splošnejši Menelajev izrek in izpeljali Stewartov izrek. Ogledali smo si še Eulerjevo premico in krožnico devetih točk.
Konstruktibilna števila
Pri projektu iščemo števila, ki jih lahko konstruiramo zgolj z ravnilom in šestilom. Spoznali smo probleme kvadrature kroga, trisekcije kota in podvojitve kocke, za katere smo z uporabo grup in razširitev pokazali, da so nerešljivi.
Verižni ulomki
Obstaja več načinov za reševanje linearnih diofantskih enačb. V našem projektu smo si ogledali način reševanja z verižnimi ulomki. Rešili smo problem razdelitve sadežev na tujem planetu, pri tem pa smo si pomagali z Wallis – Eulerjevimi rekurzivnimi enačbami.
Centralni limitni izrek
Pri našem projektu smo se ukvarjali z verjetnostjo in spoznali osnovne pojme statistike. Z enostavnimi primeri, kot je met kovanca, smo si postavili vprašanja, na katera je odgovoril centralni limitni izrek. Čeprav smo ta izrek uporabili na Marsu, smo prepričani, da nam lahko pomaga tudi na Zemlji.
Ulovimo lopova!
Projekt obsega strateško analizo igre Lopov in policisti, pri čemer si pomagamo z metodami teorije grafov. Igra predstavlja eno izmed modifikacij dobro znane igre Pac-Man, cilj igre pa je določiti najmanjše število policistov, ki lahko na izbranem igralnem polju ulovijo lopova. Namen projekta je s pomočjo matematičnega znanja policistom olajšati delo in jim na še tako kompleksnem terenu pomagati za vedno uloviti nepridiprava.
Teorija odločanja
Ali ste se kdaj vprašali, kako se pravilno odločati? Mi smo se! Najprej smo se seznanili z osnovami verjetnosti in računanjem z dogodki, nato pa smo se podali na pomembno avanturo na Mars, kjer smo spoznali nekaj različnih pristopov do odločanja
MaRSovski projekti 2018
Problem stabilnih porok
Pri problemu stabilnih porok smo spoznali Gale-Shapleyjev algoritem, ki nam vedno vrne stabilno prirejanje. Dokazali smo, da se algoritem zaključi v končnem številu korakov, ter da so njegova prirejanja res stabilna. Nato smo spoznali še Hallov izrek.
Paradoks prijateljstva
V članku smo se ukvarjali s paradoksom prijateljstva – fenomenom, ki ga je prvi opisal ameriški sociolog dr. Scott Feld leta 1991. Paradoks pravi, da imajo ljudje v povprečju manj prijateljev od svojih prijateljev. Zato smo si pogledali sredine in teorijo grafov, kar nam je pomagalo pri dokazu našega problema.
Ramseyeva teorija
Vzamemo objekt in ga razdelimo na manjše dele. Zanima nas ali kateri od manjših delov obdrži strukturo osnovnega objekta. To se sklada z opazovanjem ali lahko v navidez kaotičnem objektu najdemo kanček reda. V našem članku smo iskali (neskončne) monokromatične podgrafe pobarvanega grafa in monokromatična aritmetična zaporedja.
Ekstremalni problemi
Ali ste se kdaj vprašali, kako bi za svoje krave postavili določeno dolžino ograje tako, da bi krave imele na voljo čim večjo površino sočne trave? Ali pa, kako bi iz določene površine pločevine oblikovali konzervo, v katero bi lahko dali čim več fižola? Mi smo se! Pred reševanjem takih problemov smo se spoznali z odvodom, potem pa ga s pridom uporabili.
Jožefov problem
Želite izvedeti, kako vedno zmagati pri izštevanki?
Na poti do odgovora smo si najprej pogledali Jožefov problem,
kako zmagati v krogu ljudi, če izločimo vsakega drugega. To pa
še ni bilo dovolj za končno rešitev, zato smo si pogledali še kdo zmaga,
če izločimo vsakega tretjega, kar nas je pripeljalo do zmagovalne formule.
Madžarska metoda z utežmi
V članku se dotaknemo teorije grafov. Nato definiramo in utemeljimo madžarsko metodo z utežmi, ter zaključimo s primeri rešenih nalog različnih težavnosti in glavno nalogo, s katero pomagamo rešiti svet.
Računalnik iz domin
Naša naloga je bila ugotoviti, kako sestaviti računalnik (Turingov stroj) iz domin in logičnih izrazov. Ugotovili smo, da je izdelava takega računalnika teoretično mogoča, čeprav ima tak računalnik veliko omejitev.
Neskončnosti
Pri našem projektu smo se ukvarjali z neskončnostjo. Pokazali smo, da poleg števne neskončnosti obstaja še neskončno mnogo ostalih neskončnosti in ugotavljali, katere so si enake ter katere se med seboj razlikujejo. Na koncu smo dokazali Cantor-Schröder-Bernsteinov izrek, ki nam pove, da če med dvema množicama v obeh smereh obstaja injektivna funkcija, imata množici enako moč.
Članek
Burnsidova lema
Schubertov račun
MaRSovski projekti 2017
Zakon kvadratne recipročnosti
V članku smo se ukvarjali s kvadratnimi ostanki. Najprej smo si ogledali nekaj teorije in dokazali izreke, ki so nam kasneje služili kot orodje za dokaz enega najpomembnejših izrekov v teoriji števil – Gaussovega zakona kvadratne recipročnosti. članek
Benfordova statistična inkvizicija
50 odtenkov svetlobe
Za vsakim dežjem posije sonce. Je pojav mavrice res tako preprost kot ta rek? Kakšna fizikalno-matematična razlaga se skriva za tem naravnim pojavom? Je drugi mavrični lok mit ali resnica? Preberite naš članek in veselili se boste dežja! članek
Problem pravičnega volilnega sistema
Ukvarjali smo se z vprašanjem, kakšen volilni sistem je najbolj učinkovit in pravičen. Ameriški ekonomist Kenneth Arrow se je ukvarjal s tem problemom iz matematičnega stališča. Postavil je tri aksiome, katerih smo se med analizo držali. Med obravnavo tega problema smo prišli tudi do sklepa, da je volilni sistem, ki ustreza aksiomom, ki jih je postavil Arrow, diktatorski. članek
Problem stotih zapornikov
100 marsovcev je ujetih v utrdbi in njihova edina možnost za rešitev je uporaba matematike. V sosednji sobi se nahajajo skrinje in vsak od marsovcev mora v njih poiskati svojo številko, čeprav sme odpreti samo polovico skrinj. V članku je opisano, kako naj se s pomočjo kombinatorike rešijo iz prijema zlobnih gusarjev in kakšne so možnosti, da jim uspe. članek
Funkcije več spremenljivk
V članku spoznamo funkcije več spremenljivk in se previdno dotaknemo pomembnih tem iz analize. Začnemo z grafi funkcij dveh spremenljivk, potem pa se osredotočimo na polarne in sferične koordinate, s pomočjo katerih pridemo do sicer že znanih rezultatov, ampak na za nas nov in širše uporaben način. Zaključimo s posebno funkcijo, ki predstavlja razširitev funkcije fakulteta na pozitivna realna števila. članek
Projektivna ravnina
MaRSovski projekti 2016
(Ne)rešljiva Rubikova kocka in grupe
Cilj našega projekta je bil ugotoviti kriterij za rešljivost Rubikove kocke. Zato smo spoznali nekaj osnov grup, podrobneje simetrične in ciklične grupe ter generiranost. To znanje smo aplicirali na Rubikovo kocko in ugotovili, katere konfiguracije Rubikove kocke je možno dobiti s premiki stranic. članek
Apolonijev problem
Kruha in MaRSovskih iger
Reševali smo problem gladiatorjev s prenosom moči. Tega smo se lotili s pomočjo verjetnosti, zato smo najprej spoznali njene osnove. Ukvarjali smo se s popolno indukcijo, ki nam je pomagala ugotoviti pravilni vrstni red gladiatorjev. članek
Kitajski izrek o ostankih
V članku smo si pogledali sistem reševanja kongruenčnih enačb. Najprej smo spoznali Bezoutovo identiteto in kongruenco ter nato pridobljeno znanje navezali na kitajski izrek o ostankih. Naučili smo se reševati sisteme s kongruenco in tako rešili problem o veverički Jasni. članek
Hipohamiltonovi grafi
Predsednik kluba MaRSovcev je želel organizirati srečanje vseh članov. Želel je najti sedežni red za okroglo mizo, tako da bi bila soseda vedno prijatelja. To žal ni bilo mogoče. Bi pa bilo mogoče, če bi manjkal katerikoli od MaRSovcev. Pri projektu smo se ukvarjali s vprašanjem, koliko članov mora imeti klub in kateri izmed njih morajo biti prijatelji. članek
Zadnji Fermatov izrek
Fermatov zadnji izrek je kar tri stoletja in pol veljal za najtežji matematični problem, dokler ga ni leta 1995 dokazal angleški matematik Andrew Wiles. V nalogi smo pokazali poseben primer tega izreka, po poti pa smo spoznali nekaj metod iz teorije števil. članek
MaRSovske igre
Kaleidocikli
Kot radovedne MaRSovke smo se ukvarjale predvsem z vprašanji, katere kaleidocikli je sploh mogoče izdelati in kateri niso skladni z zakoni matematike ter zakaj. video, konstrukcija (video)
MaRSovski projekti 2015
Heksafleksagoni
Kaj narediti iz odvečnih trakov papirja? Ena izmed možnosti so hexaflexagoni, ki imajo kar nekaj zanimivih lastnosti. V našem projektu smo se lotili raziskovanja teh nenavadnih objektov in množično ustvarjali različne hexaflexagone. video, tri heksafleksagon
Taylorjeva vrsta in pi
Marsovski ljubitelji matematike so od nekdaj iskali odgovore na različna vprašanja. Njihova najnovejša naloga je čim bolj natančno narisati funkcije sinus, kosinus, logaritem in druge. Zagnani Marsovčki so se problema lotili s pomočjo polinomov. Naloga je bila zahtevna, a hkrati zelo zanimiva. Na poti so odkrili tudi neskončno vrsto za izračun pi-ja. članek
Abel-Ruffinijev izrek
V tem članku smo dokazali Abel-Ruffinijev izrek s pomočjo pertacij zank na kompleksni ravnini. članek
Veliko Marsovsko tekmovanje
Ukvarjali smo se z igro Nim in z uporabo teorijo iger. Razkrinkali smo strategijo 10-kratnega marsovskega prvaka v igri Nim. video
Banachovo skrčitveno načelo
Naša MARSovski projekt se je začel z zanimivo uganko o pravokotniku razdeljenem na pet barvnih pasov. Nanj smo morali položiti paličico pobarvano v enakem barvnem zaporedju, to pa storiti tako, da se nobeni barvi ne prekrivata. Saj ne pravimo, da MARSovski astronavti nismo vsemogočni, vendar te naloge nismo mogli rešiti. V članku si lahko ogledate zakaj ne. članek
Zločin in kazen v baletni dvorani
V okrogli baletni dvorani se v popolni temi nahajata ropar in policist. Slednji mu zre v hrbet, vidi le medel obris, a ta je dovolj. Njegova pištola je v pripravljenosti, zdaj ga mora le še opozoriti in mu z baterijo posvetiti v obraz. A hkrati ga prešine, da ne sme izdati svojega položaja, drugače utegne postati nevarno. Naenkrat se spomni, da so stene dvorane prekrite z ogledali. Morda bi lahko posvetil v ogledalo in žarek bi se nato odbil naravnost do roparja, a to porodi nov problem: v katero smer naj posveti, da z enim odbojem svetlobe osvetli roparja? članek, animacija 1 (GeoGebra), animacija 2 (GeoGebra)
Urejevalna razdalja
Pridni tajnici z MARS-a, ki se pogosto zatipka, za vsako napačno napisano besedo program predlaga nekaj pravilno napisanih besed. Ugotovili smo, da si računalnik pomaga z izračunom urejevalne razdalje med besedami. Spoznali smo algoritem za računanje urejevalne razdalje in ga sprogramirali v Javi. članek
Problem umetnostne galerije
Predstavili bomo Kleejev problem umetnostne galerije, kjer proučujemo minimalno število paznikov, ki jih potrebujemo, da lahko nadzorujejo celotno galerijo. Ogledali si bomo njegovo rešitev in nekatere izpeljanke tega problema. video, aplikacija (GeoGebra)
MaRSovski projekti 2014
Marsovska frizura
Na MARS je prišlo pismo razvajenega marsovca Poldeta, ki si je zaželel novo frizuro. Priskočili smo mu na pomoč in v programu POV-Ray izdelali model frizure tako, da smo vsak las oblikovali z uporabo zlepkov. Vabljeni k ogledu našega frizerskega podviga. video animacija (izdelano s programom POV-Ray)
Catalanova števila
14 Marsovcev se odpravi opazovat Venero. Vstopnina v observatorij znaša 5€. Polovica obiskovalcev plača z bankovcem za 5€, polovica pa z bankovcem za 10€. Ker je blagajna na začetku prazna, blagajnik pa želi vsakemu sproti vrniti denar, se morajo Marsovci razporediti v vrsto tako, da bo to mogoče. Je način razporeditve en? Jih je več kot 50? Jih je morda več kot 100? Odgovor smo poiskali s pomočjo Catalanovih števil. video
Mandelbrotova množica
Vas zanima kaj imajo skupnega dolina morskih konjičkov, krona in matematika? Me smo ugotovile, da se vse to skriva v Mandelbrotovi množici. Točke, ki ne pripadajo Mandelbrotovi množici rišemo v različnih barvah, ki jih določimo s pomočjo kompleksne funkcije. Dobimo srčkan fraktal, ki ga lahko povečujemo in povečujemo in povečujemo do onemoglosti. video
Königsberški mostovi
Ogledali smo si, kako lahko z znanjem matematike rešimo uganko, ki je stoletja nazaj zabavala prebivalce mesta Königsberg. Meščani so se med sprehajanjem spraševali, če bi se bilo možno skozi mesto sprehoditi tako, da bi pri tem vsak most prečkali le enkrat. Mi pa smo namesto nog uporabili sive celice ter si pri iskanju odgovora pomagali z osnovami teorije grafov. video
Premonsnost kvadrik
Kvadrike so druge najenostavnejše ploskve, takoj za ravninami. Nekatere med njimi se pojavljajo v vsakdanjem življenju. Ukvarjali smo se z vprašanjem, ali se na njih pojavljajo premice, in če, koliko. Če skozi vsako točko ploskve poteka vsaj ena premica, ki v celoti leži na ploskvi, je ta ploskev premonosna. Ugotovili smo, da poznamo kvadrike brez premic (torej nepremonosne), premonosne in celo dvojno premonosne kvadrike. Da smo si nekatere kvadrike lažje predstavljali, smo si pomagali s slikami in z animacijami, ki smo jih naredili s pomočjo programa POV-Ray. video
Ciklogoni
Predstavljajte si, da se nekega lepega, sončnega dne odpravljate na vožnjo s kolesom in povozite žvečilni gumi. Začnete se spraševati, kakšno pot ta žvečilni gumi opravi. Naenkrat vas spreleti, kaj bi se zgodilo, če bi imelo vaše kolo kvadratna ali celo trikotna kolesa. V našem projektu smo raziskovali ravno to – dolžino krivulje, ki jo prepotuje oglišče pravilnega večkotnika v enem obratu, če večkotnik kotalimo. video
Linearne diofantske enačbe
Projekt obsega reševanje diofantskih enačb na primeru zgodbice Rdeča kapica in lovci. Lovcev je bilo 29, lovk ( lovcev ženskega spola) pa 13. Vsak od njih je moral prejeti enako količino denarja, ni pa nujno, da so in lovci in lovke prejeli enako. Rdeča kapica mora skupini izplačati 1 euro, vendar jim denar lahko tudi vzame. Ideja je, da poiščemo vse možnosti transakcije celega števila evrov. Diofantske enačbe, so namreč enačbe, kjer x in y pripadata množici celih števil. Predstavili smo reševanje na dva načina, in sicer z Evklidovim algoritmom in Eulerjevo metodo. Cilj našega projektnega dela je torej predstaviti možnosti reševanja enačb ter zapisati tudi rešitve splošne enačbe. Osredotočili smo se tudi nekoliko na dokazovanje, pomen skupnega delitelja in izreke, kdaj je enačba v celih številih rešljiva. video
MaRSovski projekti 2013
Dobrodošli v hotelu Neskončno
Mars je vedno bolj popularna turistična destincija. Povpraševanje se izjemno hitro povečuje, zato so tam zgradili hotel Neskončno, hotel z neskončno sobami. Ta se je začel hitro polniti in se nekega dne tudi napolnil. Tisti dan je prišla neka družina. Ker je imel hotel vedno napis “Proste sobe”, so zahtevali svojo sobo. Receptor jim je ugodil, naslednji dan pa ga je čakala še težja naloga. Pripeljalo se je neskončno vesoljskhi ladij, vsaka z neskončno potniki. Receptor je bil v hotel spet dolžan sprejeti vse goste. Kako? članek, aplikacija (GeoGebra)
Risk
Projekt obsega statistično strateško analizo igre Risk, s vidika teorije grafov. Predstavili bomo strateško vrednost posamezne celine oziroma posameznega polja. Cilj naše raziskave je določiti najbolj učinkovito metodo za zmago, torej katera polja je strateško bolje zavzeti ter katere imajo boljše razmerje med mejnimi državami in državami na drugih celinah, ter s pomočjo verjetnosti ugotovitit s kolikšnjim številom vojaških enot se najbolj splača napadati oziroma braniti, da je verjetnost zmage največja. V nalogi grafično predstavljamo razmerja med vrednostjo celin, njihovim strateškim pomenom ter številom polj ki jih obsega določena celina, samo igralno polje pa obravnavamo v jeziku teorije grafov. članek
Razdelitev ravnine s premicami
Na Marsu delijo ozemlje med različne marsovske družine na poseben način. Z naprednim marsovskim orodjem čez celotno površje naključno rišejo premice. Pri tem nastajajo različna območja. Marsovske družine naseljujejo na s premicami omejena območja, neomejena območja pa ostajajo neposeljena. Po nekaj letih pa je nastal problem, saj je bilo veliko premic med seboj vzporednih ali pa se jih je v eni točki sekalo več, zaradi tega pa je bilo štetje območij oteženo. Problem rešuje skupina Marsovcev znanstvenikov Mateja, Aljoša in Jan. članek, aplikacija (GeoGebra)
Strjevanje želatine
Ukvarjali smo se z modelom strjevanja želatine. Spoznali smo osnove verjetnosti ter Caylejevo drevo in na podlagi pridobljenega znanja prišli do (sicer zelo znanega) perkulacijskega modela. članek
Kako povezati Marsovce?
Matematično raziskovalno srečanje oz. MaRS na žalost traja le en teden na leto, zato smo se spraševali, kako povezati MaRSovce, da bomo po koncu tabora lahko ohranili stike. Kraje iz katerih prihajamo in povezave med njimi si lahko predstavljamo kot graf, zato smo se lotili raziskovanja povezanih grafov in minimalnih vpetih dreves. Pomagali smo si z dvema od že odkritih algoritmov: Primovim in Kruskalovim. Napisali smo tudi program, ki je našel optimalen način, kako povezati MaRSovce. članek
Nagradno potovanje na Mars
Turistična agencija Mars Vas prisrčno vabi na nagradno igro, kjer lahko z malo sreče prejmete brezplačno potovanje na rdeči planet. Vse, kar morate za to storiti, je, da uganete barvo kape, ki Vam jo bo naša radodarna direktorica Marsilda postavila na glavo. Postavljeni boste v vrsto in videli boste le barve kap vseh kandidatov pred seboj. Pred izzivom se lahko kandidati med seboj dogovorite za strategijo, s katero Vas bo kar največ pravilno ugotovilo barvo svoje kape in tako prejelo nagrado. VAM BO USPELO? članek
Turingov stroj in Postov problem
So problemi v matematiki, tako kot v življenju, ki v okviru dane teorije niso rešljivi. So pa problemi, ki so lahko rešljivi ali ne, vendar nam noben algoritem tega ne more povedati. Kaj pomeni, da z algoritmom rešimo problem in kašen bi bil primer problema, kjer to ni mogoče? članek
MaRSovski projekti 2012
Pravična delitev
Ljudje se že od nekdaj srečujemo s problemom pravične delitve (na primer delitev torte ali predmetov med dediče). Pri projektu smo se ukvarjali s tem, kako razdeliti predmete, da bo volk sit in koza cela. članek
Celoštevilsko linearno programiranje
Naša skupina je najprej poskrbela za pripravo uravnoteženega mačjega obroka, nato pa poiskala način za avtomatsko reševanje sudokuja. Namesto lastnikov mačk lahko sudoku sedaj reši računalnik, mačke pa tako dobijo vso potrebno pozornost. Mijav. članek, Sudoku (py)*
* Za izvajanje je potreben modul PuLP.
Lov na komete
Marsovci smo opazovali nebo in se odločili, da bomo določili orbite kometov. Prolema pa se nismo lotili numerično temveč s projektivno geometrijo. Uporabili smo zanimive lastnosti le-te, kot na primer premica v neskončnosti, princip dualnosti, Pascalov in Brianchonov izrek itd. članek, demonstracija (GeoGebra)
Marsovec v hribih
Predstavljajte si pridnega Marsovca na poti v hribe, ki si zapisuje čase, ko doseže neko nadmorsko višino. Ker to lahko stori le ob določenih časih, ko ob poti opazi oznako, nima veliko meritev. Dobljene točke bi rad povezal s krivuljo. Mi smo se tega problema lotili z interpolacijo polinomov. članek
Mrežni mnogokotniki
V članku smo preverili, ali je mogoče v celoštevilsko kvadratno mrežo vrisati mnogokotnik na tak način, da njegova oglišča ležijo na točkah mreže. Nadalje smo preverili še, katere pravilne mnogokotnike lahko na tak način vrišemo v preprosto kubično celoštevilsko mrežo. članek
Tibetanska meniha
Meniha plezata čez Himalajo tako, da prideta vsak na drugo stran gorovja. Ves čas vzpona morata biti na istih nadmorskih višinah. S pomočjo teorije grafov se dokaže, da jima to lahko uspe. Definira se graf, katerega vozlišča so urejeni pari točk z isto nadmorsko višino, od katerih je vsaj ena prelomna. Nato se poišče pot med začetnim in končnim vozliščem in tako pokaže, da je tak vzpon res mogoč. članek, demonstracija (html)
Peanova krivulja
Peanova krivulja je zvezna surjektivna preslikava enotskega intervala v enotski kvadrat. Obstajajo veliko različnih krivulj s takimi lastnostmi, mi pa smo se posvetili eni od enostavnejših. Opisali bomo konstrukcijo krivulje in nekaj njenih zanimivih lastnosti. članek, demonstracija (html)
Vigenèrjeva šifra
Vigenèrjeva šifra je postopek šifriranja, ki je ostal nerazbit skoraj štiristo let. Predstavili bomo njene lastnosti, zgodovino uporabe in računalniški program, ki jo razbije. članek, demonstracija (zip)
MaRSovski projekti 2011
Vrste v fiziki
Obravnavali smo matematične vrste in njihovo praktično uporabo v (pol)predstavljivih problemih. Predstavili in rešili smo tri probleme v povezavi s harmonično, geometrijsko in z alternirajočo harmonično vrsto. članek, predstavitev
Desno distributivni skoraj kolobar brez aditivne enote
Raziskali smo algebrsko strukturo množice vseh strogo naraščajočih zaporedij naravnih števil s seštevanjem po členih in nenavadnim množenjem. članek
Bernoullijevi polinomi
V tem članku predstavimo zanimivo družino polinomov, imenovanih po Jakobu Bernoulliju. Spoprimemo se z današnjo definicijo, ki je podana s sredstvi matematične analize, vendar ne prezremo tistega, kar je opazil Bernoulli. članek, predstavitev
Kockarjev propad
Igre na srečo že dolgo privlačijo človeštvo. Ker niso deterministične, jih lahko obravnavamo le s pomočjo teorije verjetnosti. V članku je obravnavana znamenita igra kockarjev propad in vse potrebno ozadje za njeno rešitev. članek, predstavitev program (exe)
Komplementarna zaporedja naravnih števil
Zabavna uganka o dveh menihih nas je spodbudila k raziskovanju komplementarnih zaporedij. Ugotovili smo, da sta zaporedji tipa [rn] in [sm] komplementarni natanko tedaj, ko sta r in s iracionalni števili in velja r+s=rs. članek, predstavitev
Popotniška kombinatorika
Ukvarjali smo se s Stirlingovimi števili druge vrste in problemom nahrbtnika. članek
Hiperbolična ravnina
Matematiki poznajo več modelov hiperbolične ravnine. Ogledali smo si Poincarejev disk in na njem konstruirali nekaj objektov v hiperbolični geometriji. Posebej sta nas zanimali višinska točka in težišče v hiperboličnem trikotniku. članek, predstavitev, konstrukcija (GeoGebra)
Krožec pri krožcu – Pappusova veriga
Ukvarjali smo se s problemom, kako vrisati zaporedje krožnic v arbelos, t.j. lik, ki ga omejujejo tri med seboj dotikajoče se polkrožnice. Pri tem smo uporabili geometrijo inverzij na razširjeni evklidski ravnini. Dodatno smo pogledali, kako lahko ista orodja izkoristimo za opis nekaterih lastnosti krožnic v zaporedju. članek, konstrukcija 1 (GeoGebra), konstrukcija 2 (GeoGebra)
Matematične strukture
Matematična struktura je množica skupaj s povezanimi objekti. Interpretirali smo particijo množice kot matematično strukturo in si ogledali grafe in grupe ter funkcije, ki ohranjajo določeno matematično strukturo. Naši primeri so povezani s simetrično grupo Sn in njeno vizualizacijo. članek, predstavitev
Projektivna geometrija, modelirana na vektorskem prostoru nad končnim obsegom
Cilj najinega projekta je bil narediti model projektivne geometrije na razširjenem vektorskem prostoru nad končnim obsegom. Ker je obseg končen, premice niso take, kot si jih navadno predstavljamo, saj niso zvezne ravne črte in ne vsebujejo neskončnega števila točk. članek, predstavitev
MaRSovski projekti 2010
Regularni jeziki in končni avtomati
Kratek izlet v teoretično računalništvo s svinčnikom in papirjem. Ogledali si bomo preproste končne avtomate, ki jih dobimo s preprosto množico ukazov. Pot nas bo vodila od Turingovega stroja pa do množice jezikov, ki jih lahko prepoznajo končni avtomati. članek
Vozli
Vozle vsakodnevno uporabljamo, dober primer je že mašelj na čevlju. Pri našem projektu bomo opazovali le vezalko, brez čevlja, pa še ta bo sklenjena. Ali jo lahko vedno odvozlamo? članek
Riemannova zeta funkcija in Eulerjev produkt
Kazalce matematične zgodovine bomo zavrteli nazaj za dobrih tristo let in odkrivali skrivnosti številske vrste, s katero definiramo Riemannovo zeta funkcijo, in posebnega praštevilskega produkta. Skušali bomo izračunati, kakšna je verjetnost, da število na številski cesti sreča “tujko”. članek
Šifra: MARS
Od nekdaj so obstajale skrivnosti in že stoletja si ljudje izmišljujejo premetene načine za njihovo zapisovanje. Mnoge se da prevesti v matematični jezik, kjer jih je lažje analizirati in izpopolnjevati. Raziskovali bomo poti zakrivanja in odkrivanja skrivnostnih sporočil od časov klasične Grčije do danes. članek
Diskontiranje in njegova uporaba
Diskontiranje je preprost, a hkrati neverjetno pomemben in uporaben proces v ekonomiji in finančni matematiki. Z njim določamo sedanjo vrednost prihodnjih denarnih tokov, uporablja pa se za računanje vrednosti obveznic, delnic, podjetij, investicij ipd. Zrno na zrno pogača, kamen na kamen palača. članek
Rado graf
Mnogokrat za opis matematičnih problemov uporabimo točke in daljice med njimi – tako se znajdemo med grafi. Spoznali bomo graf, katerega število vozlišč ni končno. Rado graf je naključni graf, ki ga dobimo, če se za vsako izmed možnih povezav odločimo z metom kovanca. članek
GPS pa take fore
Lenoba je ena glavnih gonil znanosti. Ugotavljali bomo, kako prispeti na cilj s čim manj odvečnimi metri in minutami. Spoznali bomo ozadje algoritmov, ki jih uporabljajo naprave za reševanje problema iskanja najkrajših poti. članek
Problem trdnih zakonov
Članom posadke je po koncu MaRSovskega potovanja nekoliko dolgčas, zato se odločijo, da se bodo pozabavali (tj. da si bodo krajšali čas) v parih. A glej ga zlomka, nikakor ne morejo uskladiti svojih želja. Zato uporabijo poseben sistem… vas morda zanima kakšnega? članek
MaRSovski projekti 2009
Ko neskončen obseg oklepa končno ploščino
Če si želimo nekaj podrobno pogledati, navadno uporabimo boljšo povečavo. Pa je sploh mogoče, da tudi pri poljubno veliki povečavi podrobnosti ne izginejo? V članku vas bomo prepričali, da taki objekti obstajajo. Še več, imajo tudi izredno zanimive lastnosti (necela dimenzija, neskončno dolga krivulja oklepa končno ploščino) in so presenetljivo uporabni, npr. za stiskanje fotografij. članek
Eulerjeva karakteristika torusa
Naša MARSovska pustolovščina je bila usmerjena v raziskovanje torusa. Spoznali smo orodje, imenovano Eulerjeva karakteristika, ki nam je omogočalo brez dejanskega pogleda na ploskev določiti, koliko “lukenj” ima. Naučili smo se tudi predstaviti toruse kot večkotnike, v katerih smo identificirali nekatere stranice. članek
Kako narisati bicikl
Kolo vsi poznamo. Ima dve kolesi, ogrodje, pedala, zvonec, luč in odsevnike; ima zavore ter še marsikaj drugega. Sestavne dele lahko opišemo tudi matematično. Izbrali smo si nekaj enostavnih primerov. Parametrizirali smo valj, ki predstavlja ogrodje, torus kot zračnico in paraboloid kot sprednjo luč. Prav tako smo pogledali kakšno krivuljo opiše odsevnik na zadnjem kolesu in točka na obodu kolesa. Vse skupaj smo začinili še z zanimivo, poučno in matematike polno animacijo. članek
Pogled skozi Ne-evklidova očala
Ob besedi premica si vsakdo predstavlja ravno neomejeno črto skozi dve točki. Kaj pa, če bi bila črta ukrivljena? si znamo to še vedno predstavljati kot premico? V nam najbolj naravni geometriji je tako vprašanje nesmiselno. Lahko pa zapustimo okvire običajne (evklidske) geometrije in se podamo v drugačen svet – v neevklidsko geometrijo. Hmmm, sliši se noro, a konec koncev smo na Marsu! članek
MaRSovski projekti 2008
Poliedri
V meteoritu iz Marsa so našli kristale v obliki prirezanega heksa-oktaedra, za katerega vemo, da nastaja pri organskih procesih. V našem projektu smo heksa-oktaeder sestavili. Predstavili smo duale teles, opisali trunkacijo, podrobneje spoznali rotacijsko simetrijo in dokazali, da je platonskih teles natanko 5. članek
Zlati rez
Naša skupina se je ukvarjala z razmerjem, ki je prisotno v naravi, umetnosti, matematiki in še kje. Temu čudovitemu razmerju, ki mu pravimo zlati rez, smo se posvetili predvsem z matematičnega vidika. Konstruirali smo zlato točko in pravilni petkotnik le s pomočjo evklidskega orodja (ravnila in šestila). Pogledali smo si tudi nekaj povezav med Fibonaccijevem zaporedjem in številom zlatega reza. članek
Biljard
Vsi poznamo biljard kot igro, marsikdo ga tudi zelo rad igra. A vendar se v ozadju skriva tudi precej fizike in matematike. Naša skupina je izdelala program in opazovala enakomerno gibanje krogel v dvodimenzionalnem prostoru. Raziskali smo povezave med vpadnimi in odbojnimi koti, se poigrali s sledjo, ki jo riše krogla med kotaljenjem po biljardni mizi, na koncu pa smo se vprašali o uporabnosti našega programa. Sicer nam ni pomagal oblikovati zmagovalne strategije, pač pa nam je olajšal delo. članek
Uganka 15
Pred koncem letošnjih počitnic se je naša skupina odločila, da bo poskusila zaslužiti nekaj denarja. Odkrili smo, da je ugankar Sam Loyd leta 1870 ponudil 1000 dolarjev za rešitev svojega problema, ki je še vedno nerešen. Kmalu se je izkazalo… članek
Hiperkocke
Ljudje znamo dobro računati z objekti v več kot treh dimenzijah, predstavljamo pa si jih zelo težko, zato v pomoč uporabljamo različne trike. Mi smo se posvetili hiperkockam. Izdelali smo model teserakta, to je kocke v štirih dimenzijah, šteli oglišča 7-dimenzionalne hiperkocke, sproti pa ugotavljali, kaj imajo z vsem tem opraviti indijski menihi in Hanojski stolpi… članek
Inverzija in Moebiusove transformacije
Med raziskovanjem po Marsu smo se seznanili z osnovnimi lastnostmi izometrij in drugih transformacij. V projektu smo poleg translacije, rotacije in raztega opisali tudi inverzijo in jo predstavili tako geometrijsko kot s pomočjo kompleksnih števil. S poljubnim kombiniranjem le-teh smo v ravnini sestavili in definirali kompozitum transformacij, imenovanih po nemškem matematiku Moebiusu. Nato smo pokazali, da te transformacije sestavljajo grupo. Za konec smo s pomočjo inverzije Marsovcem pomagali skonstruirati dotikajoče se kroge v žitu. članek
MaRSovski projekti 2007
Syrtis Major
Lomni zakon ni uporaben le v optiki, temveč ga lahko izkoristimo tudi za reševanje problemov na področju mehanike. Deluje po načelu, da narava vedno izbere najhitrejšo pot. Za naše vozilo na Marsu, ki med svojo vožnjo prečka različne tipe terena, ni najpomembneje, da do svojega cilja prispe po čim krajši poti, temveč, da ga doseže v čim krajšem času.
Olympus Mons
Vsak srednješolec je najverjetneje že slišal za Eulerjevo formulo za poliedre – formulo, ki povezuje število oglišč, robov in ploskev poliedra. Iz te precej suhoparne in navidez neuporabne formule pa lahko izpeljemo zanimive ugotovitve in poiščemo odgovore na vprašanja, kot so:
- Koliko je vseh pravilnih geometrijskih teles?
- Ali se da pet mest med seboj povezati s cestami, tako da ni križišč?
- Kako enostavno izračunati ploščino večkotnika z oglišči na celoštevilski mreži?
Aurorae Sinus
Na področju Aurorae Sinus se znanstveniki ukvarjamo s sateliti. Še posebej nas zanima najdražji satelit Talcum, ki kroži okoli Marsove lune Fobos. Ker želimo vsak trenutek vedeti, kje se satelit nahaja, bomo skušali poiskati njegov tir in v matematičnem jeziku opisati ustrezno krivuljo. Idejo si bomo sposodili kar od starih Grkov: opazovali bomo pot točke po krožnici med kotaljenjem.
Planum Boreum
Katere točke na zemljevidu lahko s svojo zalogo goriva doseže sonda na površju Marsa, ki se premika le v smereh sever-jug ali vzhod-zahod? V geometriji razdaljo med dvema točkama v koordinatnem sistemu običajno merimo evklidsko – z uporabo Pitagorovega izreka. Matematiki pa znajo definirati tudi druge – neevklidske – razdalje, ki se prav tako pojavljajo pri realističnih problemih. Ena najbolj preprostih je takoimenovana taksi razdalja, s pomočjo katere smo rešili opisani problem.
Valles Marineris
Sonda na Marsu raziskuje površje prekrito s kraterji. Želimo, da se jim na svoji poti izogne, zato iščemo elegantno pot med njimi, predstavljeno s čim manj podatki. Običajno podajamo krivulje v parametrični obliki ali kot graf funkcije, francoska avtomobilska inženirja Bezier in Casteljau pa sta našla družino gladkih krivulj, ki jo lahko učinkovito opišemo zgolj z izborom nekaj kontrolnih točk. Tako dobljene krivulje se imenujejo Bezierjeve krivulje, algoritem za njihov izračun pa se imenuje Casteljaujev algoritem.
Amazonis Planitia
Trem raziskovalnim vozilom na Marsu je potrebno dostaviti zalogo goriva. Mesto za pristanek pošiljke goriva želimo izbrati tako, da bo skupna pot vseh treh vozil do te točke čim krajša. Če si položaje vozil predstavljamo kot oglišča nekega trikotnika, lahko točko z opisano lastnostjo konstruitamo z geometrijskimi orodji. Imenuje se Fermatova točka v trikotniku.
MaRSovski projekti 2006
Buffonov poskus
Obstaja mnogo načinov za približen izračun števila Pi, vendar je način, ki smo ga opisali v našem projektu, zagotovo najbolj nenavaden. Poskus se imenuje “Buffonova igla”. Ideja je takšna: na veliko polo papirja narišemo enako razmaknjene vzporednice in nanjo večkrat zapored vržemo iglo. Če se igla dotakne kakšne črte, je poskus uspešen, če se ne, je zgrešen. Verjetnost, da igla pade na črto, je v tesni zvezi s številom Pi, zato lahko izračunamo približek za Pi s pomočjo razmerja med uspešnimi in neuspešnimi poskusi. Preprosto, mar ne?
Finančna perspektiva podjetja MARS d.o.o.
Linearno programiranje je matematična metoda za iskanje maksimuma ali minimuma linearne funkcije na območju, ki ga določa sistem linearnih neenačb. Rešili smo nekaj problemov, v katerih sta nastopali le dve neznanki, zato smo jih zlahka ugnali z geometrijskim razmislekom. Pri treh ali več neznankah pa postane podobna naloga zelo zahtevna. Ena prvih učinkovitih metod za reševanje tovrstnih problemov je znana pod imenom metoda simpleksov. Kasneje so razvili še druge hitrejše in učinkovitejše algoritme, ki jih pri svojem delu uporabljajo ekonomisti in finančniki. Še danes pa v zvezi z linearnim programiranjem obstaja nekaj nerešenih vprašanj.
Košarka, zaporniki in teorija iger
Igrajmo se, igrajmo se, veselo trkajmo… Vsakdo se spomni pesmic in iger svojega otroštva, nekaterim pa igre niso le spomini – igrajo se tudi kot odrasli, le da se vanje bolj poglobijo, jih analizirajo in iščejo nove, zanesljivejše poti do zmage… Izmišljajo si nove probleme, do onemoglosti preučujejo stare in iščejo zmagovalne strategije. S pomočjo teorije iger znajo pomagati ekonomistom do večjih zaslužkov, skrajšati zapornikom kazen in svetovati košarkarjem, kako do zmage v zadnji minuti.
Met košarkarske žoge
Fiziko in matematiko je človek uporabljal že od prazgodovine: kopja, kamni ter ostale vrste orožja, s katerimi je na daljavo lovil, so se že takrat uklanjala osnovnim fizikalnim zakonom. Šele mnogo kasneje je začel razmišljati o tirnicah, po katerih so se vrženi predmeti gibali – iz tega razmišljanja pa se je razvila balistika. Ta nam je v pomoč pri usmerjanju vojaških izstrelkov, nepogrešljiva je bila pri streljanjih s topovi, nam pa lahko pomaga pri izračunu potrebnega kota, moči ali drugih količin, ki nastopajo pri preprostem metu košarkarske žoge na koš.
Prvi koraki po sferični geometriji
Kadar govorimo o geometriji, najprej pomislimo na ravninsko geometrijo. Zdi se nam povsem naravno, da je vsota notranjih kotov v trikotniku enaka 180°. Pogosto pa se zgodi, da nam takšno razmišljanje ne zadostuje, ker se problemi ne pojavljajo na ravnini, temveč na površini krogle – sferi. Takrat potrebujemo drugačno, sferično geometrijo, v kateri je vsota notranjih kotov v trikotniku lahko večja od 180°.
